Laostumisrisk
Tõenäosus kaotada kogu mängukassa enne sihtsummani jõudmist.
Lihtpanuste (1:1) laostumisrisk järgib mänguri laostumise valemit. $500 mängukassa, $10 panuste ja $600 sihtsumma korral jõuad sihini umbes 57% juhtudest ja ülejäänud juhtudel laostud.
Küsimus
Sul on a ühikutrahaÜhikPõhipanus, milles süsteem või mängija arvestab. Progressioone kirjeldatakse ühikutes, et need kehtiksid iga laua puhul.Loe tervikuna → mängukassatrahaMängukassaMängimiseks kõrvale pandud kogusumma. Mängukassa haldamine tähendab otsustamist, kui suure osa sellest ühe panuse ja ühe mängukorraga riski panna.Loe tervikuna → ja tahad jõuda a + b ühikuni, panustades korraga ühe ühiku lihtpanuselepanusLihtpanus (1:1)Punane/must, paaritu/paaris, suur/väike. 18 numbrit, maksab 1:1.Loe tervikuna →, mille võidu tõenäosusmatemaatikaTõenäosusTulemuse esinemise võimalikkuse mõõt vahemikus 0 kuni 1 ehk 0% kuni 100%. Üks number: 1/37 = 2,70%.Loe tervikuna → on p = 18/37 ja kaotuse tõenäosus q = 19/37. Kui suur on tõenäosus, et jõuad sihini enne, kui jõuad nullini? Vastuse leidsid Pascal, Fermat ja Huygens 1650. aastatel ning see on üks vanimaid tulemusi tõenäosusteoorias.
Mänguri laostumise valem
P(jõuad sihini) = (1 − (q/p)ᵃ) / (1 − (q/p)ᵃ⁺ᵇ). LaostumisriskmatemaatikaLaostumisriskTõenäosus kaotada kogu mängukassa enne eesmärgi või keerutuste arvu saavutamist.Loe tervikuna → on üks miinus see. Kuna q/p = 19/18 ≈ 1,0556, kasvab suhe ühikute arvuga eksponentsiaalselt, nii et valem karistab väikesi ühikuid karmilt: mida rohkem panuseid kulub sihini jõudmiseks, seda rohkem kordi makstakse teel 2,70% lõivu.
Kuidas seda lugeda
Väiksemad ühikud teevad haiget. Katse kahekordistada $500, panustades $10 kaupa, õnnestub 6% juhtudest; ühe $500 panusega õnnestub see 48,6% juhtudest. Julge mäng, vähem ja suuremaid panuseid, maksimeerib negatiivse ooteväärtusega mängus sihini jõudmise tõenäosuse, sest see minimeerib, mitu korda eelis rakendub. See maksimeerib ka sinu tulemuse dispersioonimatemaatikaDispersioonMõõt, mis näitab, kui laialt tulemused ooteväärtuse ümber hajuvad. Suur ühe numbri panuse, väike lihtpanuste (1:1) puhul.Loe tervikuna → ja lõpetab õhtu kiiresti. Teoreemi nimi on „julge mäng on optimaalne“ ja selle tõestasid Dubins ja Savage 1965. aastal.
Kust ülesanne alguse sai
Küsimus on vanem kui rulett. 1656. aastal esitas Pascal Fermat’le mõistatuse: kaks mängijat viskavad kolme täringut ja kummalgi on alguses 12 märki; vise 11 viib ühe märgi ühele poole, vise 14 teisele. Mõlemad lahendasid selle ja Huygens, kes kuulis sellest matemaatik Pierre de Carcavi kirjast, avaldas selle 1657. aastal esimese tõenäosusteooria raamatu viienda ülesandena, koos vastusega ja ilma tõestuseta. Üheteistkümne saab visata 27 viisil ja neljateistkümne ainult 15 viisil, nii et iga märk liigub esimese mängija kasuks 9 korral 14-st, ja ülaltoodud valem, kus kummalgi on 12 märki, teeb tema jaoks kõige võitmise umbes 1157 korda tõenäolisemaks kui kõige kaotamise. 2,70% eelis on palju väiksem, kuid sama valem näitab, mida see paljude panuste jooksul teeb.
Päris julge panus
2004. aasta aprillis müüs noor inglane Ashley Revell maha peaaegu kõik, mis tal oli, kaasa arvatud riided, ja viis $135 300 Las Vegase Plaza kasiinosse. Pärast mõnda väikest panust pani ta kogu summa üks kord punaselepanusPunaneLihtpanus (1:1) 18 punasele numbrile. Prantsuse keeles: rouge.Loe tervikuna →. KuulvarustusKuulVäike kuul, mis saadetakse rajale rootori pöörlemissuunale vastu. Tänapäevased kuulid on ivoriinist või teflonist, 18–21 mm.Loe tervikuna → jäi pessa punane 7 ja ta lahkus $270 600-ga. Kahe nulligaratasNullAinus roheline pesa, mida ei kata ükski lihtpanus (1:1), tosina- ega veerupanus; maja eelise allikas. Ka: üks null, 0.Loe tervikuna → rattal oli selle ühe keerutuse tõenäosus 47,37% ja see läks talle keskmiselt maksma $7121, ühe panuse 5,26% eelis. $10 panusteks jaotatuna oleks sama siht olnud peaaegu lootusetu. Julge mäng ei tee panust heaks; see teeb selle võimalikult lühikeseks.
Laostumisrisk ilma sihita
Kui mängid lihtsalt seni, kuni laostud, või lõpetad N keerutuse järel, muutub küsimus selliseks: „kui suur on tõenäosus, et mu mängukassa puudutab N keerutuse jooksul nulli?“. Üldise N jaoks suletud kujul valemit ei ole, kuid selle saidi simulaatorid arvutavad selle välja: $500 mängukassa $10 panustega punasele ei laostu 100 keerutuse jooksul peaaegu kunagi (alla 1%), laostub 500 keerutuse jooksul umbes 9% juhtudest ja 5000 keerutuse jooksul umbes 95% juhtudest. Ilma peatumisreeglita läheneb tõenäosus 100%-le, ja see on maja eelisematemaatikaMaja eelisOsa igast panusest, mille kasiino keskmiselt endale jätab: Euroopa ruletis 2,70%.Loe tervikuna → pikaajaline versioon.
- p10 −$500
- p25 −$500
- mediaan −$500
- p75 +$0
- p90 +$350
Kui kaua ja kui palju plussis
Veel kaks klassikalist tulemust vastavad küsimustele, mida mängijad tegelikult küsivad. Ilma sihita kestavad ühtlased lihtpanused Euroopa rattal keskmiselt 37 keerutust iga mängukassa ühiku kohta ja Ameerika rattal 19, sest iga keerutus võtab keskmiselt 1/37 ühikut (Ameerika rattal 1/19): 100 ühikut kestab keskmiselt 3700 keerutust, kuigi pooled sellistest mängukordadest on läbi 3134 keerutuse jooksul (vaata Mängukorra pikkus ja hind). Ja ükskõik kui suur on mängukassa, on Euroopa rattal tõenäosus olla kunagi k ühikut plussis (18/19)ᵏ. See on ühe ühiku puhul 95% ja kümne puhul 58%, kuid ükski mängukassa, ükskõik kui sügav, ei anna 50% tõenäosust olla kunagi 13 ühikut plussis; Ameerika rattal on tõenäosus (9/10)ᵏ ja langeb alla poole 7 ühiku juures.
Mängukassa 50% tõenäosuse jaoks
Pööra küsimus ümber: kui palju pead kaasa võtma, et sul oleks vähemalt 50% tõenäosus võita teatud summa enne, kui kaotad kõik? Väikese võidu jaoks mitte palju. Suurema jaoks kasvab vajalik mängukassa järsult ja teatud punktist alates ei piisa ühestki mängukassast, sest isegi lõputu annab alla 50% tõenäosuse jõuda kunagi nii kaugele plussi. Taylor (2021) ütleb seda teisiti: Ameerika rattal pead 100 ühikuni jõudmise 50% tõenäosuse jaoks alustama 94-ga, riskides 94-ga, et võita 6. Euroopa rattal oleks vaja 88.
Praktiline õppetund
Otsusta, mida sa teha püüad. Kui eesmärk on kindel võit, panusta suurelt ja harva. Kui eesmärk on pikk õhtu, panusta väikselt ja lepi sellega, et eelis võtab oma 2,70% suurest käibestrahaKäiveMängukorra või ajavahemiku jooksul panustatud kogusumma, kaasa arvatud uuesti panustatud võidud. Inglise keeles ka: handle, action.Loe tervikuna →. Kui eesmärk on mõlemad, tuleb millestki loobuda, ja tavaliselt on see siht.
Valem
Küsimused
MartingalestrateegiaMartingaleProgressioon, mis kahekordistab panuse pärast iga kaotust. Vaata jaotisest „Strateegiad“, mida see teeb ja mida ei tee.Loe tervikuna → vähendab seda lühikestes mängukordades ja suurendab dramaatiliselt pikkades. Ühtlane panustaminestrateegiaÜhtlane panustamineSama summa panustamine igal keerutusel. Lähtetase, millega võrreldakse iga progressiooni.Loe tervikuna → suurema ühikuga on aus viis seda vähendada.
Ülaltoodud valem on lihtpanuste jaoks. Suure dispersiooniga panuste korral on laostumine väikeste panustega tõenäolisem ja sihini jõutakse konarlikumalt; kasuta kalkulaatorit.
Iga samm sihi poole on veidi vähem tõenäoline kui iga samm laostumise poole; suhe kasvab sammude arvu ulatuses nagu liitintress.
Lõbus matemaatika
Proovi need kõigepealt ise läbi. Iga lahendus on peidetud; ava see, kui oled valmis.
Sul on $100 ja tahad $1000, panustades ainult punaselepanusPunaneLihtpanus (1:1) 18 punasele numbrile. Prantsuse keeles: rouge.Loe tervikuna →. Plaan üks: panusta $1 korraga. Plaan kaks: panusta kõik, mis sul on, kuni ületad $500, siis täpselt nii palju, et jõuda $1000-ni. Kumb plaan on parem ja kui palju?
Näita lahendust
Vastus Plaan kaks, kaugelt. See jõuab $1000-ni umbes 9,0% juhtudest, lähedale õiglasele 10%-le. Plaan üks õnnestub umbes 7 juhul 10²² kohta.
Õiglases mängusmatemaatikaÕiglane mängMäng, milles kummalgi poolel pole eelist: iga panuse ooteväärtus on null.Loe tervikuna → jõuaksid $100-st $1000-ni üks kord kümnest, tegid mida tahes, sest sinu raha keskmine väärtus püsib $100 juures.
Eelis võtab igast panusest 2,70%, seega mida vähem kokku panustad, seda lähemale jääd ühele kümnest. Plaan kaks otsustab asja käputäie panustega: $100-st saab $200, $400, $800 ja siis piisab $200-st. See õnnestub umbes 9,0% juhtudest. Plaan üks vajab enne juhusliku ekslemise lõppu tuhandeid panuseid, ja eelis, iga panuse juures väike, liitub peaaegu kindlaks laostumiseks.
See on Dubinsi–Savage’i tulemus kõige lihtsamal kujul (Epstein, 2013): mängus, mis soosib maja, panusta nii palju, kui vajad, nii vähe kordi, kui saad.
Sul on $500 ja tahad $1000, lõpetades kohe, kui see summa sul on. Valid ühe panuseliigi ja kordad seda, kuni see ühe korra võidab või raha otsa saab. Milline liik annab parima tõenäosuse?
Näita lahendust
Vastus Üks $500 panus punasele: 48,6%. Iga plaan, mis jagab raha väiksemateks panusteks, läheb halvemini.
Vali iga panuse suurus nii, et ühest võidust piisab: $30 ühe numbri panuselpanusÜhe numbri panusÜks number (inglise keeles straight up), maksab 35:1.Loe tervikuna → (straight up) võidab $1050, $60 kahe numbri panuselpanusKahe numbri panusKaks kõrvuti asuvat numbrit (inglise keeles split), maksab 17:1.Loe tervikuna → (split) võidab $1020 jne. Siis loe tõenäosust, et vähemalt üks panus võidab enne, kui raha otsa saab. Kuusteist $30 ühe numbri panust lähevad kõik mööda tõenäosusega (36/37)¹⁶ = 64,5%, seega jõuavad need $1000-ni 35,5% juhtudest.
Tabel näitab iga panust. Punane on parim, sest jõuab sinna ühe panusega, nii et eelist makstakse ainult üks kord, $500 pealt. Kuue numbri panuspanusKuue numbri panusKuus numbrit kahes kõrvuti asetsevas reas (inglise keeles six line), maksab 5:1. Prantsuse keeles: sixain.Loe tervikuna → (six line) on teine, sest vajab ainult kolme panust. Üks tosinapanuspanusTosin1–12, 13–24 või 25–36, maksab 2:1.Loe tervikuna → on halvim, tõenäosusega 12/37; isegi kui mängida $250 ühikuterahaÜhikPõhipanus, milles süsteem või mängija arvestab. Progressioone kirjeldatakse ühikutes, et need kehtiksid iga laua puhul.Loe tervikuna → kaupa, kuni sul on $1000 või rohkem, jõuab tosin sinna ainult 46,4% juhtudest.
Bollman (2024) koostab sama tabeli Ameerika ratta jaoks. Tema tosina real on viga: seal peaks olema 12/38 = 31,6%.
panuspanuse suurus × panuste arvtõenäosus jõuda $1000-niÜhe numbri panus$30 × 1635,5%Kahe numbri panus$60 × 835,9%Kolme numbri panus$90 × 534,5%Nelja numbri panus$125 × 436,7%Kuue numbri panus$166, $166, $16841,2%Tosin$500 × 132,4%Punane$500 × 148,6%Panustad ühe ühiku punasele, keerutus keerutuse järel, mängukassagarahaMängukassaMängimiseks kõrvale pandud kogusumma. Mängukassa haldamine tähendab otsustamist, kui suure osa sellest ühe panuse ja ühe mängukorraga riski panna.Loe tervikuna →, mis kunagi otsa ei saa. Pärast esimest keerutust oled ühe ühiku plussis või miinuses. Kui suur on tõenäosus, et oled kunagi jälle täpselt tasa?
Näita lahendust
Vastus 36 juhul 37-st, 97,3%. Ameerika rattal on see 36 juhul 38-st, 94,7%.
Kui esimene keerutus võidab (18 korda 37-st), oled ühe ühiku plussis ja eelis tõmbab iga lõputu mängukorra allapoole, nii et varem või hiljem lähed tagasi läbi tasaseisu: see on kindel. Kui see kaotab (19 korda 37-st), pead ronima ühe ühiku võrra üles, ja tõenäosus kunagi ühe ühikuga plussi jõuda on 18/19 (vt tabelit eespool).
Kokku: 18/37 + 19/37 × 18/19 = 18/37 + 18/37 = 36/37.
Üldiselt on tõenäosus 1 miinus keerutuse võidu- ja kaotustõenäosuse vahe: Euroopa rattal 1 − 1/37, Ameerika rattal 1 − 2/38. Mängus, kus pole nulliratasNullAinus roheline pesa, mida ei kata ükski lihtpanus (1:1), tosina- ega veerupanus; maja eelise allikas. Ka: üks null, 0.Loe tervikuna →, on vahe olematu ja tõenäosus 1: seis jõuab alati tagasi tasa. Epstein (2013) annab üldreegli.
Pascali 1656. aasta mõistatus: kaks mängijat viskavad kolme täringut, kumbki alustab 12 märgiga. Iga 11 viib ühe märgi esimesele mängijale, iga 14 ühe teisele; muid viskeid ei arvestata. Kui tõenäoline on, et esimene mängija võidab kõik 24? Ja kui panustad selle asemel igal keerutusel 1 ühiku punasele sõbra vastu, kes on pank, kummalgi 12 ühikut, kui tõenäoline on, et sina võidad kõik 24?
Näita lahendust
Vastus Esimene mängija võidab umbes 1157 korda 1158-st. Sina võidad punasel kõik 24 ühikut ainult umbes 34% juhtudest.
Kolm täringut annavad 11 27 viisil ja 14 15 viisil, seega läheb iga liikuv märk esimesele mängijale 27 korda 42-st, 9 korda 14-st. Kui kumbki pool alustab 12-ga, on tõenäosus kõik võtta 1/(1 + r¹²), kus r on vastaspoole ja sinu tõenäosuse suhe.
Esimese mängija jaoks r = 5/9 ja (5/9)¹² ≈ 0,00086, seega on tõenäosus umbes 0,99914: suhe 9¹² : 5¹² ehk 282 429 536 481 : 244 140 625, umbes 1157:1. Huygens avaldas täpselt need arvud 1657. aastal.
Punasel on nulli tõttu r = 19/18 ja (19/18)¹² ≈ 1,913: sinu tõenäosus on 1/2,913 ≈ 34,3%. Münt annaks 50%. Iga panuse 2,70% eelis liitub paljude vajalike panuste jooksul 16 protsendipunkti suuruseks vaheks.
Naljanurk
Julge mäng on optimaalne. See saab ka kiiresti läbi.
Allikad
- Feller, W. An Introduction to Probability Theory and Its Applications, Vol. 1.
- Epstein, R. A. The Theory of Gambling and Statistical Logic, 2nd ed.
- Taylor, D. G. Games, Gambling, and Probability: An Introduction to Mathematics, 2nd ed.
- Carcavi, P. de. Kiri Huygensile, 28. september 1656, ülesande kohta, mille Pascal esitas Fermat’le.
- Huygens, C. De Ratiociniis in Ludo Aleae.
- Ethier, S. N. The Doctrine of Chances: Probabilistic Aspects of Gambling.
- Reuters. “Briton bets it all on roulette spin, and wins.”
- Las Vegas Sun. “Man wagers life’s worth.”