Seeriate tõenäosus ruletis
Ühe värvi pikad seeriad on tavalised. Järgmise keerutuse jaoks ei tähenda need ka midagi.
Viis punast järjest: 2,7%. Kümme: 0,074%. 200 keerutusest koosnevas mängukorras tekib enamasti vähemalt kuuest sama värvi tulemusest koosnev seeria.
Kui tihti kaotusseeria tuleb
Lihtpanus ühe nulliga rattal kaotab 37 keerutusest 19. Iga rida näitab tõenäosust, et teatud arv järjestikuseid keerutusi kaotab kõik, ja seda, kui palju on selleks ajaks kaotanud Martingale’i mängija, kes kahekordistab panust pärast iga kaotust.
| kaotusi järjest | tõenäosus | umbes 1/n | seni kaotatud | järgmine panus |
|---|---|---|---|---|
| 1 | 51,4% | 2 | $1 | $2 |
| 2 | 26,4% | 4 | $3 | $4 |
| 3 | 13,5% | 7 | $7 | $8 |
| 4 | 7,0% | 14 | $15 | $16 |
| 5 | 3,6% | 28 | $31 | $32 |
| 6 | 1,8% | 55 | $63 | $64 |
| 7 | 0,94% | 106 | $127 | $128 |
| 8 | 0,48% | 207 | $255 | $256 |
| 9 | 0,25% | 403 | $511 | $512 |
| 10 | 0,13% | 784 | $1023 | $1024 |
| 11 | 0,065% | 1527 | $2047 | $2048 |
| 12 | 0,034% | 2974 | $4095 | $4096 |
| 13 | 0,017% | 5792 | $8191 | $8192 |
| 14 | 0,0089% | 11279 | $16 383 | $16 384 |
| 15 | 0,0046% | 21965 | $32 767 | $32 768 |
Tõenäosus on 19/37 korrutatud iseendaga üks kord iga kaotuse kohta, arvestatuna ühest kindlast keerutusest. Pikas mängukorras on palju keerutusi, millest selline seeria võib alata, nii et õhtu jooksul on see palju tõenäolisem, kui üks rida näitab.
Üks seeria
TõenäosusmatemaatikaTõenäosusTulemuse esinemise võimalikkuse mõõt vahemikus 0 kuni 1 ehk 0% kuni 100%. Üks number: 1/37 = 2,70%.Loe tervikuna →, et järgmised k keerutust on kõik punasedpanusPunaneLihtpanus (1:1) 18 punasele numbrile. Prantsuse keeles: rouge.Loe tervikuna →, on (18/37)ᵏ. Kaks: 23,7%. Viis: 2,7%. Kümme: 0,074%, umbes üks 1350-st. Kakskümmend: üks 1,8 miljonist. Kakskümmend kuus, Monte Carlo rekord: üks 137 miljonist. Need on tõenäosused, et kindel seeria algab kindlal keerutusel, ja seda küsimust ei esita peaaegu keegi.
Mängukorra jooksul
Inimesed peavad tegelikult silmas küsimust „kas minu mängukorras ilmub kuskil k-pikkune seeria?“ ja vastus on (18/37)ᵏ-st palju suurem, sest 200 keerutusest koosnev mängukord pakub seeria alguseks ligi 200 kohta. Kuue või enama sama värvi, punase või mustapanusMustLihtpanus (1:1) 18 mustale numbrile. Prantsuse keeles: noir.Loe tervikuna →, seeria leiab 200 keerutusest koosnevast mängukorrast umbes 94% juhtudest; kaheksa või enama umbes 47% ja kümne või enama umbes 14% juhtudest. Kui värv nimetatakse ette, langevad tõenäosused umbes 75%-ni, 27%-ni ja 7%-ni. Mängija, kes istub laua taga terve õhtu, näeb pikki seeriaid igal õhtul.
Miks see Martingale’ile korda läheb
Igal negatiivsel progressioonilstrateegiaProgressioonIga reegel, mis muudab panust varasemate tulemuste põhjal. Negatiivsed progressioonid suurendavad seda pärast kaotusi, positiivsed pärast võite.Loe tervikuna → on seeria pikkus, mis selle murrab: kuus kaotust $10 põhipanusest $500 lauapiirangu juures, kümme FibonaccistrateegiaFibonacciProgressioon, mis järgib jada 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13…: pärast kaotust üks samm edasi, pärast võitu kaks sammu tagasi.Loe tervikuna → puhul, viis kolmekordistamisel tosinatelpanusTosin1–12, 13–24 või 25–36, maksab 2:1.Loe tervikuna →. Kuue kaotuse seeria tõenäosus lihtpanusel (1:1) on (19/37)⁶ ≈ 1,8% katse kohta ja 200 keerutusest koosnevas mängukorras on ehk 100 katset, nii et sellise pikkusega mängukordadest jõuab murdumiseni umbes neli viiest. Seeriate tõenäosused on põhjus, miks kuristik ei ole haruldane.
Kuumad ja külmad numbrid
Sama aritmeetika kehtib ühe numbri panuste (straight up)panusÜhe numbri panusÜks number (inglise keeles straight up), maksab 35:1.Loe tervikuna → kohta. 300 keerutuse jooksul on oodatav tabamuste arv numbri kohta 8,1; standardhälvematemaatikaStandardhälveRuutjuur dispersioonist; tulemuse tüüpiline kaugus ooteväärtusest.Loe tervikuna → on umbes 2,8. Mõni number tuleb puhtjuhuslikult 15 korda ja mõni 2 korda, iga kord. Tulemustabloo, mis tõstab esile „kuumi“ numbreid, tõstab esile normaaljaotuse ülemist otsa. Labor selgitab, mitu keerutust kulub, enne kui kuum numbermüütKuum numberNumber, mis on viimasel ajal tulnud oodatust sagedamini. Ausal rattal ei ennusta see midagi.Loe tervikuna → midagi tähendab (tuhandeid, ühelt kindlalt rattalt).
Sõltumatus on kogu asja mõte
Kümnest punasest koosnev seeria ei tee musta tõenäolisemaks ega ka punast tõenäolisemaks. Mõlemad on 18/37. Seeriad on juhuslike jadade omadus ja nende puudumine oleks kahtlane: 200 keerutusest koosnev jada, kus ükski seeria ei ole neljast pikem, oleks palju tugevam tõend manipuleerimisest kui jada, kus on kaheteistkümnest koosnev seeria.
Valem
Küsimused
Kuulsaim on 26 musta Monte Carlos 18. augustil 1913. 1943. aastal teatati 32 punasest järjest ühes Ameerika kasiinos. Arvestades, kui palju keerutusi kasiinodes tehakse, on mõlemad juhusega kooskõlas.
Mõlemal juhul on see 18/37. Panusta nii, nagu su plaan ütleb, või ära panusta üldse.
Ei. Kallutatus ilmneb sellena, et mõni pesavarustusPesaÜks rootori 37 nummerdatud lahtrist. Inglise keeles ka: slot, cup.Loe tervikuna → tuleb tuhandete keerutuste jooksul sagedamini, mitte värviseeriatena.
Lõbus matemaatika
Proovi need kõigepealt ise läbi. Iga lahendus on peidetud; ava see, kui oled valmis.
Mitu keerutust kulub Euroopa rattal keskmiselt, enne kui kõik 37 numbrit on tulnud vähemalt üks kord?
Näita lahendust
Vastus Keskmiselt umbes 155 keerutust; mediaan on 147.
Loe ootamist ühe uue numbri kaupa. Esimene keerutus näitab alati uut numbrit. Kui oled näinud 1 numbrit, on 36 pesavarustusPesaÜks rootori 37 nummerdatud lahtrist. Inglise keeles ka: slot, cup.Loe tervikuna → 37-st uued, seega võtab järgmine uus number keskmiselt 37/36 keerutust. Kui oled näinud k numbrit, võtab see 37/(37 − k).
Liida ootamised: 37/37 + 37/36 + 37/35 + … + 37/1 = 37 × (1 + 1/2 + 1/3 + … + 1/37) ≈ 37 × 4,20 = 155,5 keerutust.
Suurem osa sellest on lõpus. Ainuüksi viimane number võtab keskmiselt 37 keerutust ja viimased viis umbes 85. Ameerika rattal annab sama summa umbes 161. See on kupongikoguja ülesanne; Wizard of Odds annab sama keskmise.
Mitut erinevat numbrit võib oodata 37 keerutuse jooksul Euroopa rattal, üks keerutus iga pesa kohta?
Näita lahendust
Vastus Umbes 23,6. Ligikaudu kolmandik numbritest, umbes 13, ei tule üldse.
Võta üks number, näiteks 17. Igal keerutusel jääb see tulemata tõenäosusega 36/37, seega jääb see kõigil 37 keerutusel tulemata tõenäosusega (36/37)³⁷ ≈ 0,363.
Igal numbril on sama tõenäosus, seega puudub keskmiselt 37 × 0,363 ≈ 13,4 numbrit ja 37 − 13,4 ≈ 23,6 tulevad välja, paljud neist kaks või enam korda.
Ruletimängijad nimetavad seda kolmandike seaduseks. See pole mingi seadus, vaid korduste aritmeetika: nii pikas keerutuste jadas, kui rattal on pesi, jääb umbes kolmandik numbreid kõrvale, ausal rattal nagu igal teisel. 38 pesa puhul on osakaal samuti (37/38)³⁸ ≈ 0,363; suure ratta puhul läheneb see väärtusele 1/e ≈ 0,368.
Sõber näitab sulle kaht 50 värvist koosnevat loendit, igas värv punanepanusPunaneLihtpanus (1:1) 18 punasele numbrile. Prantsuse keeles: rouge.Loe tervikuna → või mustpanusMustLihtpanus (1:1) 18 mustale numbrile. Prantsuse keeles: noir.Loe tervikuna →, mis mõlemad pärinevat rattalt, mille nullidratasNullAinus roheline pesa, mida ei kata ükski lihtpanus (1:1), tosina- ega veerupanus; maja eelise allikas. Ka: üks null, 0.Loe tervikuna → on välja jäetud. Üks vahetab värvi 25 korda ja selle pikim seeria on kuus. Teine vahetab 35 korda ega ulatu kunagi üle kolme. Kumb on välja mõeldud?
Näita lahendust
Vastus Teine. Päris loend vahetab värvi umbes 24 või 25 korda. 35 vahetusega loend tuleb ette umbes kord 500 loendi kohta ja loend, milles pole kolmest pikemat seeriat, umbes kaks korda 100 kohta.
Iga uus värv kas kordab eelmist või vahetub, pooleks, seega annavad 49 vahetusvõimalust keskmiselt 24,5 vahetust, pluss-miinus umbes 3,5. Kolmkümmend viis on kolm sellist sammu keskmisest kõrgemal; aus ratas annab nii palju vahetusi umbes ühes loendis 500-st.
Seeriad räägivad sama lugu. 50-liikmelises päris loendis on neljane või pikem seeria umbes 98% juhtudest ja selle pikim seeria on enamasti viis või kuus.
Inimesed, kellel palutakse juhuslik loend välja mõelda, vahetavad värvi liiga sageli, sest neljane või viiene seeria tundub neile mustrina. Taylor (2021) näitab sama reeturlikku tunnust üliõpilaste välja mõeldud mündiviskeloendites: tõeline juhuslikkus on seeriarohkem, kui inimesed ootavad.
Kasiinolugude raamat räägib mängijast, kelle number tuli viis korda järjest, ja nimetab seda rekordiks. Kui haruldane on see Euroopa rattal? Ja kui sageli peaks see juhtuma kusagil ühes kasiinos, kus on 20 lauda ja igaüks keerutab 40 korda tunnis, päeval ja öösel?
Näita lahendust
Vastus Ette nimetatud number viis korda järjest: üks 69 miljonist. Mis tahes number, mis tuleb pärast esimest ilmumist veel neli korda: üks 1,87 miljonist. See kasiino keerutab aastas umbes 7 miljonit korda, seega peaks seal viiene seeria tulema kolm või neli korda aastas.
Ette nimetatud number tuleb igal keerutusel tõenäosusega 1/37, seega on viie järjestikuse tõenäosus (1/37)⁵ = 1/69 343 957. Kuid keegi ei nimeta numbrit ette. Mis iganes esimesena tuleb, järgmised neli keerutust peavad seda kordama: (1/37)⁴ = 1/1 874 161.
20 lauda × 40 keerutust × 24 tundi × 365 päeva = 7 008 000 keerutust aastas. Iga keerutus võib alustada seeriat, seega ootab kasiino aastas 7 008 000/1 874 161 ≈ 3,7 viiest koosnevat seeriat.
Sellist ametlikku rekordit ei ole olemas ja seda pole ka vaja: haruldane sündmus ühe laua juures on tavaline sündmus terves kasiinos, ja lugusid räägitakse sellest lauast, kus see juhtus. Lugu, mis on Goldmani (2007) raamatus, toimub kahe nulliga rattal, kus arvud on üks 79 miljonist ja üks 2,09 miljonist.
Naljanurk
Pikad seeriad ongi see, milline juhuslikkus välja näeb.
Allikad
- Feller, W. An Introduction to Probability Theory and Its Applications, Vol. 1.
- Ethier, S. N. The Doctrine of Chances: Probabilistic Aspects of Gambling.
- Taylor, D. G. Games, Gambling, and Probability: An Introduction to Mathematics, 2nd ed.