Ülesanne: lauapiirang
$10 Martingale $500 laual. Kui sageli see puruneb, kui palju see siis kaotab ja kas piirangu tõstmine aitab?
Kuus kaotust järjest lõhuvad selle: 1,8% tsükli kohta, umbes 60% 100 keerutusega mängukordadest. Purunemine maksab $630. Kui tõsta piirang $5000 peale, muutub purunemine harvemaks (0,25% tsükli kohta) ja suuremaks ($5110). Oodatav kaotus panustatud dollari kohta on 2,70% iga piirangu juures.
Ülesanne
Mängija panustab $10 punaselepanusPunaneLihtpanus (1:1) 18 punasele numbrile. Prantsuse keeles: rouge.Loe tervikuna → ja kahekordistab panust pärast iga kaotust, alustades pärast võitu uuesti algusest. Laua maksimumpanus on $500. (a) Mitu kaotust järjest lõhub progressioonistrateegiaProgressioonIga reegel, mis muudab panust varasemate tulemuste põhjal. Negatiivsed progressioonid suurendavad seda pärast kaotusi, positiivsed pärast võite.Loe tervikuna →? (b) Milline on selle tõenäosusmatemaatikaTõenäosusTulemuse esinemise võimalikkuse mõõt vahemikus 0 kuni 1 ehk 0% kuni 100%. Üks number: 1/37 = 2,70%.Loe tervikuna → tsükli kohta? (c) Mis kaotatakse purunemisel? (d) Kuidas muudab vastuseid $5000 piirang? (e) Kas mõni piirang teeb süsteemi kasumlikuks?
Lahendused (a)–(c)
Panused: 10, 20, 40, 80, 160, 320. Seitsmes oleks 640 > 500, nii et kuus kaotust lõhuvad selle. (b) p(kaotus) = 19/37 punasel; (19/37)⁶ = 0,0183, umbes 1,8% tsükli kohta. Tsükkel kestab keskmiselt umbes kaks keerutust, nii et 100 keerutusega mängukorras on ligikaudu 50 tsüklit ja p(vähemalt üks purunemine) ≈ 1 − 0,9817⁵⁰ ≈ 60%. (c) 10 + 20 + 40 + 80 + 160 + 320 = $630, mis on 63 põhiühikutrahaÜhikPõhipanus, milles süsteem või mängija arvestab. Progressioone kirjeldatakse ühikutes, et need kehtiksid iga laua puhul.Loe tervikuna →, samal ajal kui tsükkel püüdis võita $10.
Lahendus (d)
$5000 juures on lubatud panused kuni 2560; kümnes panus, 5120, lükatakse tagasi. Üheksa kaotust lõhuvad selle: (19/37)⁹ ≈ 0,25% tsükli kohta, umbes 11% 100 keerutusega mängukordadest. Kaotus purunemisel: 10 + 20 + … + 2560 = $5110. Mängija on ostnud harvema katastroofi suurema katastroofi hinnaga. Paljude mängukordade jooksul on purunemiste oodatav hind p × kaotus ≈ 0,0183 × 630 = $11,5 tsükli kohta $500 piirangu juures ja 0,0025 × 5110 = $12,8 $5000 juures; ümardamise täpsusega on see sama arv ja see on tsükli oodatav kaotusmatemaatikaOodatav kaotusOoteväärtus korda panuste kogusumma; keskmine summa, mis mängukorra või ajavahemiku jooksul kaotatakse.Loe tervikuna → miinus $10, mida võitvad tsüklid teenivad.
Lahendus (e)
Ei. Oodatav kaotus tsükli kohta = (tsükli oodatav kogupanus) / 37, iga piirangu juures, sest iga panus on −1/37 iseendast. Piirang otsustab ainult, kuidas kaotus jaguneb paljude väikeste võitude ja väheste suurte kaotuste vahel. Ilma piiranguta ja lõpmatu mängukassagarahaMängukassaMängimiseks kõrvale pandud kogusumma. Mängukassa haldamine tähendab otsustamist, kui suure osa sellest ühe panuse ja ühe mängukorraga riski panna.Loe tervikuna → progressioon „töötaks“ selles mõttes, et see ei puruneks kunagi, ja samas panustaks see piiramatu summa, mille oodatav kaotus on 2,70% sellest piiramatust summast. Mitte lauapiiranglaudLauapiirangLubatud miinimum- ja maksimumpanus. Maksimum on see, mis peatab kahekordistamisel põhinevad progressioonid.Loe tervikuna → ei takista Martingale’istrateegiaMartingaleProgressioon, mis kahekordistab panuse pärast iga kaotust. Vaata jaotisest „Strateegiad“, mida see teeb ja mida ei tee.Loe tervikuna → süsteemi töötamast. Seda teeb aritmeetika.
Kaks päris lauda
Thorpi näide on $1 laud $1000 maksimumiga, kus mängija loodab võita õhtusöögiks $30, dollar korraga. Panused 1, 2, 4 … 512 lubavad kümme panust, nii et kümme kaotust järjest lõhuvad progressiooni: üks kord 785 tsükli kohta Euroopa rattal (üks kord 613 kohta Ameerika rattal), hinnaga $1023. Kolmkümmend tsüklit õnnestuvad kõik 96,2% juhtudest. Ülejäänud 3,8% juhtudest kaotatakse umbes $1000 ja õhtu keskmine tulemus on −$9,17, mis on täpselt 1/37 summast $339, mille kolmkümmend tsüklit keskmiselt panustavad. $5 laud $2000 maksimumiga ei ole teistsugune: panused kuni $1280 lubavad üheksa panust ja purunemine tuleb üks kord 403 tsükli kohta Euroopa rattal (üks kord 323 kohta Ameerika rattal) ning maksab $2555.
Rikas mängija
Anna progressioonile madala piirangu asemel sügav mängukassa: 1000 ühikut, ühe ühiku suurune põhipanus ja 1000 keerutust punasele, alustades uuesti ühest ühikust alati, kui järgmine kahekordistus on suurem kui järelejäänud summa. Simuleerisime miljon sellist õhtut. Euroopa rattal lõpetab 52% plussis, 21% kaotab kõik ja keskmine tulemus on −124 ühikut. Isegi mängus, kus nulliratasNullAinus roheline pesa, mida ei kata ükski lihtpanus (1:1), tosina- ega veerupanus; maja eelise allikas. Ka: üks null, 0.Loe tervikuna → ei ole ja iga panus on õiglane, lõpetaks plussis ainult umbes 60%. Tavaline õhtu on väike võit; keskmise maksavad kinni õhtud, mis lõppevad nulliga.
Õppetund
Kasiinod seavad piiranguid, et piirata omaenda dispersioonimatemaatikaDispersioonMõõt, mis näitab, kui laialt tulemused ooteväärtuse ümber hajuvad. Suur ühe numbri panuse, väike lihtpanuste (1:1) puhul.Loe tervikuna →, mitte selleks, et süsteeme võita. Martingale’i alistamine on kõrvalmõju, mida nad meelsasti võtavad, ja aritmeetika alistaks selle niikuinii. Mängija, kes arvab, et probleem on piirangus, on leidnud kuristiku ja pidanud seda languseks.
Valem
Küsimused
See laseb sul vastu pidada kõrgema piiranguni, kus purunemine on harvem ja suurem. Oodatav kaotus dollari kohta ei muutu.
Panused 10, 30, 70, 150, 310: $500 piirang saabub pärast viit kaotust ja purunemine maksab $570. Sama 2,70%.
Et üks mängija ei saaks panustada rohkem, kui kasiino reserv mugavalt välja maksta suudab. Dispersiooni juhtimine.
Lõbus matemaatika
Proovi need kõigepealt ise läbi. Iga lahendus on peidetud; ava see, kui oled valmis.
Martingale’istrateegiaMartingaleProgressioon, mis kahekordistab panuse pärast iga kaotust. Vaata jaotisest „Strateegiad“, mida see teeb ja mida ei tee.Loe tervikuna → mängija alustab $100 panusega punaselepanusPunaneLihtpanus (1:1) 18 punasele numbrile. Prantsuse keeles: rouge.Loe tervikuna → ja lubab endale tsükli kohta kõige rohkem n panust: pärast n järjestikust kaotust annab ta alla ja alustab uuesti. Kirjuta ühe tsükli keskmine tulemus valemina n kaudu ja arvuta see Euroopa rattal 5, 6 ja 7 panuse jaoks.
Näita lahendust
Vastus Keskmine on 100 × (1 − (38/37)ⁿ): 5 panuse puhul −$14,26, 6 puhul −$17,35 ja 7 puhul −$20,52. Rohkemate panuste lubamine teeb keskmise tsükli halvemaks, mitte paremaks.
Tsükkel võidab $100, välja arvatud siis, kui kõik n panust kaotavad, mis juhtub tõenäosusega qⁿ, kus q = 19/37. Kui kõik kaotavad, annavad panused 100, 200 … 100 × 2ⁿ⁻¹ kokku 100 × (2ⁿ − 1). Seega on keskmine 100 × (1 − qⁿ) − 100 × (2ⁿ − 1) × qⁿ = 100 × (1 − (2q)ⁿ).
Siin 2q = 38/37, veidi rohkem kui 1, seega (2q)ⁿ kasvab koos n-iga ja keskmine langeb: n = 5 annab 1,1426 ja −$14,26; n = 6 annab 1,1735 ja −$17,35; n = 7 annab 1,2052 ja −$20,52. Pikem redel kaotab harvemini, 3,6%, 1,8% ja 0,9% tsüklitest, kuid iga kaotus on kaks korda suurem, ja iga tsükliga liigub üle laua rohkem raha, 2,70% igast panusest.
Ameerika rattal 2q = 40/38 ja arvud on −$29,24, −$36,04 ja −$43,20 (Taylor, 2021). Mängus, kus pole nulliratasNullAinus roheline pesa, mida ei kata ükski lihtpanus (1:1), tosina- ega veerupanus; maja eelise allikas. Ka: üks null, 0.Loe tervikuna →, 2q = 1 ja iga tsükkel annab keskmiselt täpselt null, ükskõik kui pikk on redel.
„Suur Martingale“ (grand Martingale) kahekordistab panuse pärast kaotust ja lisab ühe ühikurahaÜhikPõhipanus, milles süsteem või mängija arvestab. Progressioone kirjeldatakse ühikutes, et need kehtiksid iga laua puhul.Loe tervikuna →, nii et panused on 1, 3, 7, 15, 31 … Kui palju oled plussis, kui esimene võit tuleb 1., 2., 3. või k-ndal panusel? $10 ühiku ja $500 maksimumpanuse juures: kui sageli tsükkel puruneb ja mida tsükkel keskmiselt maksab?
Näita lahendust
Vastus Võit k-ndal panusel jätab sind k ühikut plussi: +1, +2, +3 jne. $10 ja $500 juures puruneb tsükkel pärast viit kaotust, 3,57% tsüklitest, tulemusega −$570. Keskmiselt kaotab tsükkel $85,73 panustatust $2,32: 2,70%.
k-ndas panus on 2ᵏ − 1 ühikut: 1, 3, 7, 15, 31. Esimesed k − 1 panust annavad kokku 2ᵏ − 2 − (k − 1) = 2ᵏ − k − 1. Võit k-ndal panusel maksab 2ᵏ − 1, seega lõpeb tsükkel (2ᵏ − 1) − (2ᵏ − k − 1) = k ühikut plussis: üks lisaühik iga võidule eelnenud kaotuse eest.
$10 ühiku puhul on panused $10, $30, $70, $150 ja $310; järgmine, $630, ületab $500 maksimumi. Viis kaotust järjest, (19/37)⁵ = 3,57%, maksavad 10 + 30 + 70 + 150 + 310 = $570.
Keskmine: võidud toovad sisse $10 × k tõenäosusega (19/37)ᵏ⁻¹ × 18/37, kui k = 1 kuni 5, ja purunemine võtab $570 tõenäosusega 3,57%; kokku −$2,32. Panustatud raha on tsükli kohta keskmiselt $85,73 ja 2,32/85,73 = 2,70%. Tavaline Martingale samal laual puruneb pärast kuut kaotust, 1,83% tsüklitest, tulemusega −$630, ja kaotab $64,20 panustatust $1,74: jälle 2,70%.
Mängija plaanib Martingale’i punasele $1 esimese panusega laual, mille lauapiirang on $1000, nii et võimalik on kümme panust: $1, $2, $4 ja nii edasi kuni $512. Kui sageli kaotab tsükkel kõik kümme, kui kaua selleni keskmiselt kulub ja kui sageli lõpeb 200 panusega õhtu nii?
Näita lahendust
Vastus Tsükkel kaotab kõik kümme umbes üks kord 784-st, mis maksab $1023. Selleni kulub keskmiselt umbes 1600 panust ja 200 panusega õhtu põrkab vastu seina umbes 11% juhtudest. Tsükkel kaotab ikkagi keskmiselt $0,31 $11,31 panustatust: 2,70%.
Panus punasele kaotab tõenäosusega 19/37, null kaasa arvatud. Kümme järjest: (19/37)¹⁰ ≈ 0,00128, umbes üks 784-st. Panused 1 + 2 + 4 + … + 512 annavad kokku $1023.
Tsükkel võtab keskmiselt 2,05 panust, seega võtavad 784 tsüklit umbes 1600 panust. Keerutuse kaupa loendades tuleb kümnest kaotusest koosnev seeria kusagil 200 panuse jooksul ette 11,3% juhtudest.
Katastroofide vahel võidab mängija $1 tsükli kohta: umbes $783 enne halba tsüklit, siis −$1023, kogu lõigu peale umbes −$240. Tsükli kohta: 1 × (1 − 0,00128) − 1023 × 0,00128 ≈ −$0,31. Panustatud raha tsükli kohta: 1 + 2 × (19/37) + 4 × (19/37)² + … + 512 × (19/37)⁹ ≈ $11,31. Ja −0,31/11,31 = −2,70%.
Võrdle $10 esimese panusega $500 piiranguga laual, kuus panust: sein tuleb vastu kord 55 tsükli jooksul ja 200 panusega õhtu põrkab sellele 84% juhtudest. Kõrgem piirang teeb krahhi harvemaks ja suuremaks, mitte odavamaks.
Naljanurk
Harvem ja suurem, iga piirangu juures. Korrutis on konstantne.
Allikad
- Ethier, S. N. The Doctrine of Chances: Probabilistic Aspects of Gambling.
- Thorp, E. O. “Optimal gambling systems for favorable games.”
- Thorp, E. O. The Mathematics of Gambling.
- Epstein, R. A. The Theory of Gambling and Statistical Logic, 2nd ed.