Ülesanne: kui kaua nulli oodata

Q: Kas mõnel rattal tuleb null tõenäolisemalt?

Ausal rattal mitte. Kallutatud rattal võiks see olla ükskõik milline pesa ja selle tuvastamiseks kuluks tuhandeid keerutusi.

Null tuleb keskmiselt välja ühel keerutusel 37-st. Kui kaua tegelikult ootad ja mida see lihtpanuste (1:1) mängijale teeb?

Lühike vastus

Nulli ootamine on geomeetriline: keskmine 37 keerutust, mediaan 25 ja üks ootamine kahekümnest kestab üle 110 keerutuse. 200 keerutusega mängukorra jooksul ootab lihtpanuste mängija 5,4 nulli ja näeb neid tegelikult 1 kuni 10.

keskmine ooteaeg

37 keerutust

ooteaja mediaan

25 keerutust

p(100 keerutuse jooksul nulli pole)

6,5%

nulle 200 keerutuse jooksul

5,4 ± 2,3

Ülesanne

NulliratasNullAinus roheline pesa, mida ei kata ükski lihtpanus (1:1), tosina- ega veerupanus; maja eelise allikas. Ka: üks null, 0.Loe tervikuna → tõenäosusmatemaatikaTõenäosusTulemuse esinemise võimalikkuse mõõt vahemikus 0 kuni 1 ehk 0% kuni 100%. Üks number: 1/37 = 2,70%.Loe tervikuna → on 1/37 keerutuse kohta. (a) Kui suur on tõenäosus, et järgmise 37 keerutuse jooksul nulli ei tule? (b) Milline on ooteaja mediaan? (c) Mitu nulli peaks mängija ootama 200 keerutusega lihtpanuste mängukorra jooksul ja milline on vahemik?

Lahendused

(a) (36/37)³⁷ = 36,3%. Rohkem kui kolmandikul juhtudest möödub 37 keerutust ilma ühegi nullita; see on sama arvutus, mille järgi „vähemalt üks tabamus ühe numbri panuselpanusÜhe numbri panusÜks number (inglise keeles straight up), maksab 35:1.Loe tervikuna → (straight up) 37 keerutuse jooksul“ juhtub ainult 63,7% juhtudest. (b) Ooteaeg W on geomeetriline; p(W > k) = (36/37)ᵏ; mediaan on see k, mille juures see langeb alla 0,5, st k ≈ 25. Pooled ooteajad on 25 keerutust või lühemad ja pooled pikemad; keskmist 37 tõmbab üles pikk saba. (c) Nullide arv 200 keerutuse jooksul on binoomjaotusega, keskmine 200/37 = 5,4 ja standardhälvematemaatikaStandardhälveRuutjuur dispersioonist; tulemuse tüüpiline kaugus ooteväärtusest.Loe tervikuna → √(200 × (1/37) × (36/37)) ≈ 2,3. 95% vahemik on ligikaudu 1 kuni 10.

ooteaeg nullinitõenäosus

10 keerutuse jooksul24,0%

25 keerutuse jooksul49,6%

37 keerutuse jooksul63,7%

50 keerutuse jooksul74,6%

100 keerutuse jooksul93,5%

üle 110 keerutuse≈ 5%

üle 200 keerutuse0,4%

p(W ≤ k) = 1 − (36/37)ᵏ. Keskmine 37, mediaan 25.

Mida null lihtpanuste mängijale maksab

Iga null maksab ühe panuse ja nullid on punasepanusPunaneLihtpanus (1:1) 18 punasele numbrile. Prantsuse keeles: rouge.Loe tervikuna → kogu eelis: keskmise 37 keerutuse jooksul tasakaalustavad 18 võitu ja 18 kaotust üksteist ning see üks null ongi −1/37. 200 keerutusega mängukorras $10 panusega maksavad oodatavad 5,4 nulli $54, mis on täpselt 200 × $10 / 37. Mängukorral, kus tuli 2 nulli, on olnud $34 jagu head õnne; mängukorral, kus tuli 9 nulli, on olnud $36 jagu halba õnne ja see tundub manipuleeritud. Laual, kus kehtib reegel la partagereegelLa partagePrantsuse reegel: kui tuleb null, tagastatakse pool lihtpanusest (1:1). Vähendab nende panuste maja eelist poole võrra, tasemele 1,35%.Loe tervikuna →, maksab iga null pool panust ja arvud lähevad poole väiksemaks.

Nullid 200 keerutusega mängukorras% mängukordadest

0–1

2,5%

2–3

18%

4–5

34%

6–7

28%

8–9

13%

10 või rohkem

4,5%

% mängukordadest

01734%

Binoomjaotus(200, 1/37). $10 panusega punasele mängija maksab iga nulli eest $10; nullide arvu hajuvus on õhtu hinna hajuvus.

Reegel la partage ruletis Kas veebirulett on manipuleeritud? Müüt

Jätkuülesanne

Kui suur on tõenäosus, et tuleb kaks nulli järjest? (1/37)² = 1/1369. Kasiinos, kus töötab 20 lauda 50 keerutusega tunnis, tähendab see umbes üht topeltnullivariantTopeltnullAmeerika ratta pesa 00. Selle olemasolu tõstab maja eelise tasemelt 2,70% tasemele 5,26%.Loe tervikuna → kusagil iga 1,4 tunni järel. Mängijad, kes seda näevad, järeldavad, et ratas on katki; arvutus ütleb, et on lihtsalt teisipäev.

Proovi järele

Mängukorra simulaator loeb nullid mängukorra kohta kokku. Käivita 100 keerutust paarsada korda ja kanna arvud graafikule: ilmub ülaltoodud histogramm oma pika parempoolse sabaga. Saba on koht, kust lood tulevad.

Valem

p(W > k) = (36/37)ᵏ

E[W] = 37 · mediaan ≈ 25

nullid N keerutuse jooksul ~ Binoomjaotus(N, 1/37)

Küsimused

Kas mõnel rattal tuleb null tõenäolisemalt?

Ausal rattal mitte. Kallutatud rattallaborKallutatud ratasRatas, mille füüsiliste defektide tõttu on mõne pesa tõenäosus suurem kui 1/37. Haruldane ja tuvastatav ainult tuhandete üles kirjutatud keerutuste põhjal.Loe tervikuna → võiks see olla ükskõik milline pesavarustusPesaÜks rootori 37 nummerdatud lahtrist. Inglise keeles ka: slot, cup.Loe tervikuna → ja selle tuvastamiseks kuluks tuhandeid keerutusi.

Kas peaksin kindlustuseks alati nullile žetooni panema?

See on 2,70% panus nagu iga teine. See muudab mängukorra kuju (null muutub võiduks), mitte hinda.

Miks on mediaan väiksem kui keskmine?

Sest ooteaegade jaotus on viltune: palju lühikesi ootamisi, mõni väga pikk.

Naljanurk

$Keskmine 37, mediaan 25 ja pikk saba, kus elavad legendid.$

Keskmine 37, mediaan 25 ja pikk saba, kus elavad legendid.

Allikad

Feller, W. An Introduction to Probability Theory and Its Applications, Vol. 1. Wiley, 3. väljaanne, 1968. Mänguri laostumine, XIV peatükk.
Ethier, S. N. The Doctrine of Chances: Probabilistic Aspects of Gambling. Springer, 2010. 13. peatükk, rulett.

üle vaadatud 2026-09-28mudel: Euroopa rulett, üks nullmetoodika ↗allikad ↗