Koondumine pikas plaanis: suurte arvude seadus ruletis
Kuidas keskmine läheneb väärtusele −2,70% ja miks see võtab kauem aega, kui intuitsioon arvab.
Keskmine kaotus keerutuse kohta koondub keerutuste kogunedes väärtuseks −1/37 ja selle hajuvus kahaneb nagu 1/√N. Pärast 1000 keerutust punasele on keskmine tavaliselt oma ootusest ±3% piires.
Suurte arvude seadus
Sõltumatute panuste jooksev keskmine läheneb ooteväärtuselematemaatikaOoteväärtusKeskmine tulemus panuse kohta pikas plaanis. Iga standardse Euroopa ruleti panuse puhul −1/37 panusest.Loe tervikuna →. Kui teha N keerutust lihtpanusega (1:1), igaüks ühe ühikurahaÜhikPõhipanus, milles süsteem või mängija arvestab. Progressioone kirjeldatakse ühikutes, et need kehtiksid iga laua puhul.Loe tervikuna → suurune, on keskmise tulemuse ooteväärtus keerutuse kohta −1/37 ja standardhälvematemaatikaStandardhälveRuutjuur dispersioonist; tulemuse tüüpiline kaugus ooteväärtusest.Loe tervikuna → 1/√N. Kui N = 100, on see hajuvus 10% panusest, peaaegu neli korda suurem kui 2,7% signaal. Kui N = 1000, on see 3,2%, umbes sama suur kui signaal. Kui N = 10 000, on see 1% ja eelis on selgelt näha. Ühe mängukorra jooksul on eelis nähtamatu, aasta jooksul eksimatu.
Mis koondub ja mis mitte
Keskmine keerutuse kohta koondub. Kogusumma mitte: N kasvades triivib see nullist üha kaugemale, ootuspäraselt umbes 2,7% võrra N-st, hajuvusega √N selle ümber. Mängija, kes on mänginud 10 000 keerutust $10 kaupa, on eeldatavasti $2700 miinuses, pluss-miinus $1000. PunastepanusPunaneLihtpanus (1:1) 18 punasele numbrile. Prantsuse keeles: rouge.Loe tervikuna → jooksev osakaal on ammu stabiliseerunud 48,65% lähedale; jooksev saldo ei ole stabiliseerunud kuhugi.
- p10 −$440
- p25 −$280
- mediaan −$140
- p75 +$0
- p90 +$140
Miks intuitsioon eksib
Inimesed ootavad, et eelis ilmneks kiiresti, sest 2,70% kõlab palju, ja et pikad seeriad „tasanduvad“, sest suurte arvude seadusmatemaatikaSuurte arvude seadusSõltumatute tulemuste keskmine koondub katsete arvu kasvades ooteväärtusele.Loe tervikuna → ütleb, et keskmised koonduvad. Mõlemad intuitsioonid hindavad mastaapi valesti: eelis on väike võrreldes ühe keerutuse dispersioonigamatemaatikaDispersioonMõõt, mis näitab, kui laialt tulemused ooteväärtuse ümber hajuvad. Suur ühe numbri panuse, väike lihtpanuste (1:1) puhul.Loe tervikuna → (σ = 1 ühik, EV aga 0,027), nii et kulub (1/0,027)² ≈ 1400 keerutust, enne kui see muutub ühe sigma ulatuses nähtavaks. Ja keskmise koondumine ei tõmba kogusummat sugugi tagasi; see ainult lahjendab varasemaid kõikumisi.
Koondumine teiste panuste puhul
Ühe numbri panustepanusÜhe numbri panusÜks number (inglise keeles straight up), maksab 35:1.Loe tervikuna → (straight up) puhul on σ = 5,84, nii et sama arvutus annab (5,84/0,027)² ≈ 47 000 keerutust, enne kui eelis jõuab ühe sigmani. Ühe numbri panustaja võib mängida aastaid, ilma et eelist saaks tema enda andmetes õnnest eristada, makstes samal ajal täpselt sama 2,70% nagu punasele panustaja, kes näeb seda mõne nädalaga.
Mida see tähendab süsteemide testimisel
Igaüks, kes väidab, et süsteem töötab, peaks suutma seda näidata vähemalt 10 000 keerutuse jooksul dokumenteeritud positiivse keskmisega. 1000 keerutuse juures on positiivne keskmine lihtpanusel nullhüpoteesi korral sündmus, mis juhtub üks kord viiest; 100 keerutuse juures on see peaaegu mündivise. Selle saidi simulaatorid jooksutavad sekundiga 2000 sinu valitud pikkusega mängukorda, mis on rohkem tõendeid kui ükski kiidukiri.
Valem
Küsimused
TõenäosusmatemaatikaTõenäosusTulemuse esinemise võimalikkuse mõõt vahemikus 0 kuni 1 ehk 0% kuni 100%. Üks number: 1/37 = 2,70%.Loe tervikuna → veel kunagi plussi jõuda läheneb mängides nullile. Kogusumma triivib piiramatult allapoole.
Ei. See tähendab, et varasemad kõikumised moodustavad üha suuremast valimist üha väiksema osa.
Lihtpanuste puhul umbes 10 000, enne kui eelis on selgelt näha. Ühe numbri panuste puhul umbes 50 000.
Lõbus matemaatika
Proovi need kõigepealt ise läbi. Iga lahendus on peidetud; ava see, kui oled valmis.
Kaks sõpra mängivad 20 vooru õiglast mängumatemaatikaÕiglane mängMäng, milles kummalgi poolel pole eelist: iga panuse ooteväärtus on null.Loe tervikuna →, mündiviset või punanepanusPunaneLihtpanus (1:1) 18 punasele numbrile. Prantsuse keeles: rouge.Loe tervikuna → mustapanusMustLihtpanus (1:1) 18 mustale numbrile. Prantsuse keeles: noir.Loe tervikuna → vastu, kus nulliratasNullAinus roheline pesa, mida ei kata ükski lihtpanus (1:1), tosina- ega veerupanus; maja eelise allikas. Ka: üks null, 0.Loe tervikuna → korral panused tagastatakse, ja peavad jooksvat arvestust. Loe kokku voorud, mille jooksul kumbki on ees (viik läheb sellele, kes juhtis vahetult enne). Kumb on tõenäolisem: et juhtimine jaguneb 10 vooru 10 vastu või et üks sõber juhib kõik 20 vooru?
Näita lahendust
Vastus See, et üks sõber juhib kõik 20 vooru, on palju tõenäolisem: 35,2%, arvestades kumbagi sõpra, võrreldes 6,1%-ga võrdse jaotuse 10 ja 10 puhul.
Tõenäosus, et õiglane jooksev seis on 2k vooru järel viigis, on u = C(2k, k)/2²ᵏ: 10 vooru järel 0,246 ja 20 vooru järel 0,176. Klassikaline tulemus, arkussiinuse seadus, ütleb, et tõenäosus, et üks kindel sõber juhib täpselt 2k vooru 2n-st, on u(2k) × u(2n − 2k).
Kõigi 20 vooru juhtimine: u(20) × u(0) = 0,176 kummagi sõbra jaoks, 35,2% ükskõik kumma jaoks. Võrdne jaotus: u(10) × u(10) = 0,246² = 6,1%, kõigist jaotustest kõige ebatõenäolisem.
Seega vahetab juhtimine õiglases mängus harva omanikku. Mängija, kes on terve õhtu ees olnud või terve õhtu taga, pole näinud midagi ebatavalist, ja see ei ütle midagi ratta ega oskuste kohta. Epstein (2013) annab sama seaduse pikemate mängude jaoks: pooltel juhtudel juhib õnnelikum pool rohkem kui 85% mängust.
Naljanurk
Keskmine koondub. Kogusumma lihtsalt lahkub.
Allikad
- Bernoulli, J. Ars Conjectandi.
- Feller, W. An Introduction to Probability Theory and Its Applications, Vol. 1.