Kelly kriteerium ja rulett
Kelly kriteerium ütleb eelisega panustajale, kui palju panustada. Ruleti kohta annab see selge vastuse: mitte midagi.
Kelly panus = eelis / šansid. Negatiivse eelise korral annab valem negatiivse murdosa, mis tähendab: ära panusta. Kriteerium on siiski kasulik, et mõista, miks kallutatud rataste mängijad valisid panuste suuruse just nii, nagu nad valisid, ja miks kõik teised peaksid panuse suuruse määrama eelarve järgi.
Kriteerium
John Kelly (1956) küsis, kuidas peaks teadaoleva eelisega mängija valima panuste suuruse, et mängukassarahaMängukassaMängimiseks kõrvale pandud kogusumma. Mängukassa haldamine tähendab otsustamist, kui suure osa sellest ühe panuse ja ühe mängukorraga riski panna.Loe tervikuna → kasvaks pikas plaanis võimalikult kiiresti. Vastus panusele, mis maksab b:1, kui võidu tõenäosusmatemaatikaTõenäosusTulemuse esinemise võimalikkuse mõõt vahemikus 0 kuni 1 ehk 0% kuni 100%. Üks number: 1/37 = 2,70%.Loe tervikuna → on p ja kaotuse tõenäosus q = 1 − p, on panustada murdosa f* = (bp − q) / b mängukassast. Positiivne f* tähendab, et panusta see murdosa; null või negatiivne tähendab, et ära panusta. Kelly töötas Bell Labsis ja tema artikkel „A new interpretation of information rate“ asetas probleemi Claude Shannoni informatsiooniteooria raamidesse: mängija, kes saab mürarikka liini kaudu vihjeid, saab õiglaste šansside korral kasvatada oma mängukassat parimal juhul sama kiirusega, millega liin informatsiooni edastab. 1961. aastal tõestas Leo Breiman, et Kelly järgi panustamine jõuab pikas plaanis ette igast olemuslikult erinevast strateegiast ja saavutab seatud eesmärgi ligikaudu lühima ajaga.
Rakendatuna ruletile
PunasepanusPunaneLihtpanus (1:1) 18 punasele numbrile. Prantsuse keeles: rouge.Loe tervikuna → puhul: b = 1, p = 18/37, q = 19/37; f* = (18/37 − 19/37)/1 = −1/37. Ühe numbri panusepanusÜhe numbri panusÜks number (inglise keeles straight up), maksab 35:1.Loe tervikuna → (straight up) puhul: b = 35, p = 1/37, q = 36/37; f* = (35/37 − 36/37)/35 = −1/1295. Iga tavapanus annab negatiivse Kelly murdosa, sest igal panusel on negatiivne eelis, ja kasvu optimeeriv panus on null. Kelly on formaalne viis öelda seda, mida ütleb lehekülg „Maja eelis“: ei ole sellist panuse suurust, mille juures negatiivse ooteväärtusega panus mängukassat kasvataks.
Kus Kelly tõesti kehtis
Kallutatud rataste mängijatel oli eelis ja panuse suuruse probleem. Jagger, García-Pelayo pere ja rühm Eudaemons pidid kõik otsustama, kui palju oma mõõdetud eelisele panustada: liiga väike panus raiskab eelise, liiga suur riskib laostumisega enne, kui eelis ilmneb. PesavarustusPesaÜks rootori 37 nummerdatud lahtrist. Inglise keeles ka: slot, cup.Loe tervikuna → puhul, mis tuleb välja ühel korral 30-st, ütleb Kelly 0,57% mängukassast keerutuse kohta sellele numbrile: $10 000 juures umbes $57 keerutuse kohta, tüüpilise kasvuga umbes 0,054% keerutuse kohta ehk ×1,7 1000 keerutuse jooksul. Keskmine kasv on sellest kaks korda suurem, 0,11% keerutuse kohta, kuid Kelly sihib tüüpilist mängukassat, mitte keskmist, mida mõni õnnelik seeria üles puhub. Pool-Kelly on tavaline praktiline valik, sest eelise hinnang on ebakindel.
Tüüpiline ja keskmine
Tüüpilise ja keskmise mängukassa vahe on suur. Võtame pesa, mis tuleb välja ühel korral 25-st – 44% eelis, arv, mille Thorp oma seadme kohta annab. Kelly panustab sellele 1,26% mängukassast. 1000 keerutuse järel on tüüpiline mängukassa kasvanud umbes 11,5 korda, samal ajal kui keskmine, mida mõned väga õnnelikud seeriad üles tõmbavad, on kasvanud umbes 249 korda. Kellyst suurem panus tõstab keskmist ja langetab tüüpilist tulemust: kahekordse Kelly panuse juures ainult kahekordistub tüüpiline mängukassa ja kahe ja poole kordse Kelly panuse juures see kahaneb, kuigi igal panusel on endiselt 44% eelis. Väiksem panus maksab vähe: pool panust säilitab umbes kolm neljandikku kasvust.
Kui eelis on oletus
Kelly eeldab, et eelis on teada. Laua taga seda hinnatakse ja hinnang on tavaliselt liiga kõrge. Epsteini näide, mis tugineb Thorpi 44% eelisele, on number, mis tuli kahe nulligaratasNullAinus roheline pesa, mida ei kata ükski lihtpanus (1:1), tosina- ega veerupanus; maja eelise allikas. Ka: üks null, 0.Loe tervikuna → rattal 1225 keerutuse jooksul välja 49 korda: ühel korral 25-st, 44% eelis, Kelly panus 1,26%. Kuid ausal kahe nulliga rattal on 38 numbrit ja neist kõige sagedasem jõuab 1225 keerutuse jooksul 49 või enama tabamuseni umbes ühel korral üheksast. Iga andmestiku kõige sagedasem number on ühtlasi see, keda õnn on kõige rohkem aidanud, nii et isegi päriselt kallutatud pesa paistab andmetes parem, kui ta on: võitja needus. Kui see pesa tegelikult kallutatud ei ole, on Kelly panus lihtsalt panus, mis kaotab keskmiselt 5,26%. Tavalised vastused on panustada murdosa Kellyst ja jätkata lugemist, kuni eelis peab vastu ka uutes andmetes (vt „Kuidas ratta kallutatust tuvastada“).
Eelisega inimesed
Eelise teadmine ei ole sama mis selle hea kasutamine. Haghani ja Dewey (2016) andsid 61 inimesele igaühele $25, et nad pool tundi panustaksid mündile, mille kohta neile öeldi, et see tuleb kulli peale 60% juhtudest, kusjuures võitude ülempiir oli $250 (mängijad said piirist teada alles selleni jõudes). Kelly ütleb: panusta iga kord 20% mängukassast kullile, ja autorite hinnangul jõuaksid ühtlased 10–20% panused piirini umbes 95% juhtudest. Sinna jõudis ainult 21% mängijatest. 28% kaotas kõik, 18 inimest 61-st panid kõik ühele viskele, umbes kolmandik lõpetas alla oma algse $25 ja keskmine väljamakserahaVäljamakseSee, mille võitnud panus tagasi toob; esitatakse kujul „X:1“ lisaks tagastatud panusele.Loe tervikuna → oli $91. Ainult viis inimest 61-st olid Kelly kriteeriumist kuulnud. Eelise olemasolul otsustab panuste suurus, kas see säilib; ilma eeliseta, nagu ausal rattal, ei aita ükski suurus.
Mida selle asemel kasutada
Ilma eeliseta on panuse suurus eelarve küsimus, mitte kasvu küsimus: panus = see, mida oled valmis keerutuse kohta kulutama, tuletatuna tunnieelarvest ja laua tempost (lehekülg „Mängukassa haldamine“). Kelly kriteeriumi kasu tavamängijale on selle vastuse selgus: null. Kõik, mida panustad üle nulli, on mängimise hind, mille valid sina ja mida ükski valem ei optimeeri.
Märkus murdosalise Kelly ja „rahahalduse“ kohta
Süsteemid, mida müüakse kui „Kelly ruleti jaoks“ ja mis soovitavad panustada igal panusel kindla protsendi mängukassast, on ühtlane panustaminestrateegiaÜhtlane panustamineSama summa panustamine igal keerutusel. Lähtetase, millega võrreldakse iga progressiooni.Loe tervikuna → kahaneva panusega. Need kaotavad 2,70% käibestrahaKäiveMängukorra või ajavahemiku jooksul panustatud kogusumma, kaasa arvatud uuesti panustatud võidud. Inglise keeles ka: handle, action.Loe tervikuna → ja kuna panus kahaneb kaotades, muudavad nad laostumise aeglaseks, mitte ebatõenäoliseks. See on mõistlik viis eelarvet kauem jätkata; Kelly see ei ole – Kelly ütleks: lõpeta.
Valem
Küsimused
Ainult mõõdetud eelisega, mis tuleb kallutatud rattastlaborKallutatud ratasRatas, mille füüsiliste defektide tõttu on mõne pesa tõenäosus suurem kui 1/37. Haruldane ja tuvastatav ainult tuhandete üles kirjutatud keerutuste põhjal.Loe tervikuna → või ajastusseadmest. Ausal rattal mitte.
Sest eelise hinnangul on viga ja liiga suur panus läheb maksma rohkem kui liiga väike. Pool-Kelly annab kolm neljandikku kasvust veerandi dispersioonigamatemaatikaDispersioonMõõt, mis näitab, kui laialt tulemused ooteväärtuse ümber hajuvad. Suur ühe numbri panuse, väike lihtpanuste (1:1) puhul.Loe tervikuna →.
Ei. Kelly optimeerib kasvu, kui eelis on olemas. Mängukassa haldamine kontrollib kulutamist, kui seda pole.
Lõbus matemaatika
Proovi need kõigepealt ise läbi. Iga lahendus on peidetud; ava see, kui oled valmis.
Thorpi ja Shannoni ennustusseade andis umbes 44% eelise. Ühele ennustatud numbrile soovitab Kelly panustada 1,26% mängukassastrahaMängukassaMängimiseks kõrvale pandud kogusumma. Mängukassa haldamine tähendab otsustamist, kui suure osa sellest ühe panuse ja ühe mängukorraga riski panna.Loe tervikuna →. Mis siis, kui sama 44% eelis tuleks ühele panusele, mis on jaotatud viiele naabernumbrile?
Näita lahendust
Vastus Siis soovitab Kelly 7,1% mängukassast ja mängukassa kasvab peaaegu kuus korda kiiremini: 1000 panuse jooksul umbes 1,25 miljonit korda, võrreldes umbes 11,5 korraga.
44% eelisega ühe numbri panuspanusÜhe numbri panusÜks number (inglise keeles straight up), maksab 35:1.Loe tervikuna → (straight up) võidab tõenäosusega 0,04, sest 36 × 0,04 = 1,44. Kelly panus on eelis jagatud šanssidega: 0,44/35 = 1,26%. Tüüpiline kasv panuse kohta on 0,04 × ln(1 + 35 × 0,0126) + 0,96 × ln(1 − 0,0126) ≈ 0,00244, seega korrutavad 1000 panust mängukassa umbes e^2,44 ≈ 11,5-ga.
Jaota üks panus viiele numbrile ja panus võidab tõenäosusega 0,20 ning maksab 36/5 1 eest, see tähendab 6,2:1: ikka 44% eelis, sest 0,2 × 7,2 = 1,44. Kelly panus on siis 0,44/6,2 = 7,10% ja kasv panuse kohta 0,01404, umbes 5,75 korda suurem. 1000 panuse jooksul on see e^14,04, umbes 1,25 miljonit.
Eelis on sama; kõikumised on väiksemad. Panus, mis võidab üks kord viiest, võib kanda suuremat osa mängukassast, ilma et laostumise oht kasvaks, ja Kelly kasv premeerib seda. Thorp (1984) kasutab seda näidet, et näidata, miks ennustajad panustavad sektoriteleratasSektorJärjestikuste pesade kaar rattal, erinevalt rühmast mänguväljal.Loe tervikuna →. Praktikas on viiel naabrilpanusNaabridNumber ja kaks pesa sellest kummalgi pool rattal, viis ühe numbri panuse žetooni.Loe tervikuna → veidi väiksem eelis kui ühel parimal numbril (vt „Eelismäng“).
Mängija on leidnud kaks kõrvuti asetsevat pesavarustusPesaÜks rootori 37 nummerdatud lahtrist. Inglise keeles ka: slot, cup.Loe tervikuna →, mis kumbki tulevad 1 kord 25-st, mitte 1 kord 37-st. Kas ta peaks panustama nende vahele kahe numbri panusepanusKahe numbri panusKaks kõrvuti asuvat numbrit (inglise keeles split), maksab 17:1.Loe tervikuna → (split) 17:1 või kummalegi numbrile eraldi ühe numbri panuse? Kui palju soovitab Kelly ja kui kiiresti kasvab mängukassa võrreldes ühe sellise pesaga?
Näita lahendust
Vastus Vahet pole: 2,59% mängukassast kahe numbri panusele või 1,29% kummalegi numbrile. Tüüpiline mängukassa kasvab 1000 keerutuse jooksul umbes 155 korda, ühe pesaga umbes 11,5 korda.
Kahe numbri panus võidab tõenäosusegamatemaatikaTõenäosusTulemuse esinemise võimalikkuse mõõt vahemikus 0 kuni 1 ehk 0% kuni 100%. Üks number: 1/37 = 2,70%.Loe tervikuna → 2/25 = 0,08 ja maksab 17:1, seega tagastab see iga panustatud ühikurahaÜhikPõhipanus, milles süsteem või mängija arvestab. Progressioone kirjeldatakse ühikutes, et need kehtiksid iga laua puhul.Loe tervikuna → kohta 18 × 0,08 = 1,44: eelis 44%, sama mis ühel kallutatud pesal. Kelly panus on eelis jagatud šanssidega: 0,44/17 = 2,59%.
Kaks 1,29% suurust ühe numbri panust annavad täpselt samad tulemused. Kui tuleb üks neist numbritest, võidab üks žetoonrahaŽetoonKindlat summat tähistav märk, mis pannakse panuse tegemiseks mänguväljale. Inglise keeles ka: cheque.Loe tervikuna → 35:1 ja teine kaotatakse, neto 34 × 1,29% = 44% mängukassast, nagu maksab kahe numbri panus; kui kumbagi ei tule, kaotatakse mõlemad.
Kasv keerutuse kohta on 0,00505, ühe pesa puhul 0,00244, seega kasvab tüüpiline mängukassa 1000 keerutuse jooksul e^5,046 ≈ 155 korda, mitte e^2,44 ≈ 11,5 korda. Kaks head numbrit on väärt palju rohkem kui kaks korda üks, ja seepärast panustavad kallutatust otsivad mängijad numbrigruppidele. Thorp (1984) teeb sama võrdluse.
Naljanurk
Kasvu optimeeriv panus ruletil on arv, mida kõik juba teavad.
Allikad
- Kelly, J. L. “A new interpretation of information rate.”
- Breiman, L. “Optimal gambling systems for favorable games.”
- Thorp, E. O. “Optimal gambling systems for favorable games.”
- Thorp, E. O. The Mathematics of Gambling.
- Epstein, R. A. The Theory of Gambling and Statistical Logic, 2nd ed.
- Taylor, D. G. Games, Gambling, and Probability: An Introduction to Mathematics, 2nd ed.
- Ethier, S. N. The Doctrine of Chances: Probabilistic Aspects of Gambling.
- Haghani, V. & Dewey, R. “Rational decision-making under uncertainty: observed betting patterns on a biased coin.”