Ülesanne: sünnipäevaratas
Mitu keerutust kulub, enne kui mõni number kordub? Palju vähem, kui enamik arvab.
Sünnipäevaülesanne 37 pesagavarustusPesaÜks rootori 37 nummerdatud lahtrist. Inglise keeles ka: slot, cup.Loe tervikuna → rattal: juba 8 keerutuse järel on tõenäosus üle poole, et mõni number on juba kaks korda välja tulnud. Mängijad loevad kordustest mustreid; tegelikult on need ausa ratta oodatav käitumine.
Ülesanne
Keeruta ausat Euroopa ratast. Mitu keerutust kulub, enne kui tõenäosusmatemaatikaTõenäosusTulemuse esinemise võimalikkuse mõõt vahemikus 0 kuni 1 ehk 0% kuni 100%. Üks number: 1/37 = 2,70%.Loe tervikuna →, et vähemalt kaks keerutust on andnud sama numbri, ületab poole? Enamik mängijaid pakub kuskil 18 või 19, pool 37-st. Vastus on 8.
Lahendus
Arvuta tõenäosus, et kordust ei ole, ja lahuta see ühest. Pärast k keerutust p(kõik erinevad) = (37/37)(36/37)(35/37)…((38 − k)/37). Kui k = 8: 1 × 0,973 × 0,946 × 0,919 × 0,892 × 0,865 × 0,838 × 0,811 ≈ 0,44, nii et p(mõni kordus) ≈ 0,56. Kui k = 14, on see 0,93; kui k = 20, on see 0,996. Intuitsioon eksib, sest keerutuste paaride arv kasvab nagu k² ja iga paar võib kokku langeda.
Miks see laua taga loeb
Viimase 20 numbri tulemustabloo näitab peaaegu alati vähemalt ühte kordust, sageli kahte või kolme. Mängijad näevad, et „17 tuli kümne keerutuse jooksul kaks korda“, ja järeldavad, et 17 on „kuum“ number; sünnipäevaarvutus ütleb, et kordus kümne keerutuse jooksul juhtub 74% juhtudest ja korduv number on juhuslik. Muster on päris; tähendus ei ole.
Jätkuülesanne
Mitu keerutust kulub, enne kui konkreetne number, näiteks 17, on kaks korda välja tulnud? See on teine küsimus palju suurema vastusega: oodatav ooteaeg on 74 keerutust ja tõenäosus saada 20 keerutuse jooksul kaks korda 17 on umbes 10%. Erinevus „mõni number kordub“ (8 keerutust) ja „see number kordub“ (74 keerutust) vahel on kogu erinevus mustri vahel, mida märkad tagantjärele, ja ennustuse vahel, mille teed ette.
Proovi järele
Mängi Demomängus kümme keerutust ja vaata ajalugu. Tavaliselt on seal kordus. Mängi uuesti. Korduv number on nüüd teine. Tee seda kümme korda ja oled näinud sünnipäevaülesannetmatemaatikaSünnipäevaülesanneMitu inimest on vaja, et kahel neist oleks tõenäoliselt sama sünnipäev, või mitu keerutust, enne kui mõni number tõenäoliselt kordub. 37 pesaga rattal piisab 8 keerutusest, et võimalus oleks parem kui pooleks.Loe tervikuna →; tee seda tuhat korda (simulaatorid suudavad) ja oled selle mõõtnud.
Valem
Küsimused
Täpselt, ainult 365 päeva asemel on 37 pesa. Sünnipäevade puhul annavad 50% 23 inimest; rattal annavad 8 keerutust 56%.
50% umbes 19 keerutuse järel. Ikka tavaline.
Ei. Tuhanded keerutused ühelt rattalt võiksid viidata; kordus mitte kunagi.
Lõbus matemaatika
Proovi need kõigepealt ise läbi. Iga lahendus on peidetud; ava see, kui oled valmis.
Ameerika ratta kõrval olev tulemustabloo näitab viimast 16 keerutust. Kui tõenäoline on, et ükski number ei esine sellel kaks korda?
Näita lahendust
Vastus Umbes 2,5%: ligikaudu 39 tablood 40-st näitavad vähemalt ühte kordust.
Mine keerutus keerutuse haaval. Esimene keerutus võib olla mis tahes. Teine peab sellest mööda minema: 37 võimalust 38-st. Kolmas peab mööda minema mõlemast: 36 38-st. Kuueteistkümnes peab mööda minema viieteistkümnest numbrist: 23 38-st.
Korruta: 38/38 × 37/38 × 36/38 × … × 23/38 ≈ 0,0246.
Korduseta tabloo on see haruldane. Kordusega tabloo ei ütle rattast midagi.
Kui suur on Euroopa ratta kümnel keerutusel tõenäosus, et 17 tuleb täpselt viis korda? Et mõni number, ükskõik milline, tuleb viis või rohkem korda? Ja et mõni number tuleb neljal keerutusel vähemalt kolm korda?
Näita lahendust
Vastus 17 täpselt viis korda: üks 315 576-st. Mõni number viis või rohkem korda: umbes üks 8333-st. Mõni number neljal keerutusel kolm või rohkem korda: üks 349-st.
17 viis korda: vali, millised viis kümnest keerutusest, 252 viisi, igaühe tõenäosus (1/37)⁵ × (36/37)⁵. Kokku üks 315 576-st.
Mõni number: igal 37 numbril on viie või enama tabamuse tõenäosus üks 308 325-st, mis annab kokku 37/308 325 ehk üks 8333-st. Haruldane juhtum, kus kahel numbril on kummalgi viis tabamust, on loetud kaks korda, aga selle väljajätmine ei muuda selle täpsuse juures midagi.
Kolm korda neljal keerutusel: ühe numbri puhul 4 × 36 + 1 = 145 tulemust 37⁴ võimalikust; ükskõik millise 37 numbri puhul 145/37³ = üks 349-st.
Wizard of Odds vastas nende küsimuste kahe nulligaratasNullAinus roheline pesa, mida ei kata ükski lihtpanus (1:1), tosina- ega veerupanus; maja eelise allikas. Ka: üks null, 0.Loe tervikuna → versioonidele; meie arvud selle ratta jaoks on üks 359 275-st, üks 9243-st ja üks 368-st. Vahe „17“ ja „mõne numbri“ vahel on jälle sünnipäevaülesannematemaatikaSünnipäevaülesanneMitu inimest on vaja, et kahel neist oleks tõenäoliselt sama sünnipäev, või mitu keerutust, enne kui mõni number tõenäoliselt kordub. 37 pesaga rattal piisab 8 keerutusest, et võimalus oleks parem kui pooleks.Loe tervikuna →: üllatuda saab 37 moel.
Naljanurk
Midagi kordub vara. See miski on juhuslik.
Allikad
- Feller, W. An Introduction to Probability Theory and Its Applications, Vol. 1.
- Wizard of Odds. „Ask the Wizard“, ruletiküsimused.